KvG-Mathiade 1999
Die Aufgaben der 1. Runde
Jahrgangsstufe 5-6: Die Türme von Hanoi
Einer alten Legende zufolge befindet sich vor einem Tempel in der vietnamesischen Hauptstadt Hanoi eine Säule mit 100 übereinandergelegten Scheiben, die nach oben hin immer kleiner werden. Mönche weissagten, die Welt werde untergehen, ehe es gelänge, diese Scheiben nach folgenden Regeln umzuschichten:a) Außer der vorhandenen Säule stehen nur zwei weitere Plätze zur Verfügung: der Zielplatz und ein weiterer Platz, der als Ablage benutzt werden darf.
b) Nur die oberste Scheibe einer Säule darf bewegt werden.
c) Es darf niemals eine größere Scheibe auf eine kleinere gelegt werden.
Da wir nicht bis zum Weltuntergang warten wollen, bearbeiten wir zunächst einmal nur einen Turm mit 3 Scheiben. Unter "1" ist die Ausgangslage, unter "2", "3", "4" sind die ersten Umlegeschritte dargestellt. Und nun unsere Aufgabe:
1. Führe die Umlegeaktion (ab Schritt 5) weiter bis zum Ende, d. h. bis alle drei Scheiben geordnet auf dem Zielplatz liegen. Stelle diese Schritte wie oben zeichnerisch dar!
2. Zeichne die komplette Umlegeaktion für einen Turm mit vier Scheiben.
Hinweis: Achte jeweils darauf, dass du möglichst wenig Schritte benötigst. Probiere zuerst mit verschieden großen Tellern oder Büchern!
Jahrgangsstufe 7-9: Die Schnecke im Brunnen
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Ellen herauf und fällt nachts 
Ellen zurück. In wie vielen Tagen kommt sie heraus?"1. Ganz superleicht ist die Aufgabe andererseits auch nicht - denn du kannst z. B. nicht einfach die Zahl 32 durch die "Tag-und-Nacht-Leistung"
dividieren, weil die Schnecke nach dem letzten Tag ja nicht mehr zurückfällt! Genauer gesagt: Am
wievielten Tag erreicht die Schnecke den oberen Brunnenrand?2. Angenommen, dieser letzte Tag (gemeint ist hier die Zeit von Sonnenauf- bis -untergang) dauere 14 Stunden. Nach wie vielen Stunden ist die Schnecke oben?
(Die "Elle" ist übrigens ein altes Längenmaß; sie betrug - je nach Zeit und Ort - zwischen 40 und 80 cm.)
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| Mathiade-Preisverleihung 1997 |
Jahrgangsstufe 10-13: Primzahlquadratvorgänger
Alles fiebert dem Jahr 2000 entgegen - von festlicher bis Weltuntergangsstimmung! Dabei ist die Zahl 2000 wirklich nichts Besonderes: Sie ist nicht einmal durch 3 teilbar, und ihr Aussehen mit den drei Nullen verdankt sie nur der Schreibweise des Zehnersystems! Halten wir uns lieber an schönere Zahlen, etwa die Vorgänger von Primzahlquadraten...Beispiele: Der Vorgänger von 5² ist 24, der von 7² ist 48, der von 11² ist 120 und der von 13² ist 168. Alle diese Zahlen haben eins gemeinsam: Sie sind durch 24 teilbar!
Beweise: Wenn p eine Primzahl > 3 ist, so ist der Vorgänger von p² stets durch 24 teilbar.
(Hinweis: Verwende die 3. binomische Formel!)
Die Aufgaben der 2. Runde
Jahrgangsstufe 5-6: Eine merkwürdige Zahlenfolge
Etwas seltsam sind die Ziffern der Zahlen 11111010000 = 2202002 = 133100 = 31000 = ... schon ausgewählt! Und noch kurioser die Gleichheitszeichen dazwischen...!1. Was haben die Zahlen zu bedeuten? (Die Gleichheitszeichen könnten ein heißer Tipp sein!)
2. Schreibe die nächsten 5 Zahlen auf, die zu der Folge gehören. (Die letzte dieser Zahlen sollte dir bekannt vorkommen...)
Jahrgangsstufe 7-9: Götterbefragung
In einem Tempel befinden sich drei Götter, die einander äußerlich gleichen und nur anhand ihres Verhaltens zu unterscheiden sind:a) Der Gott der Wahrheit beantwortet jede Frage wahrheitsgemäß.
b) Der Gott der Lüge sagt stets die Unwahrheit.
c) Der Gott der Diplomatie sagt nach Belieben die Wahrheit oder Unwahrheit.
Detektiv Adlerauge möchte die Identität der drei Götter herausfinden.
Dazu darf er, egal, an welchen Gott, insgesamt drei Fragen stellen, die man
mit "ja" oder "nein" beantworten kann. Adlerauge beginnt folgendermaßen: Er fragt den ersten Gott, dem er begegnet (nennen wir diesen Gott A): "Sagt Gott B öfter die Wahrheit als Gott C?"
1. Notiere, was Gott A antworten könnte. Unterscheide dazu mehrere Fälle!
2. Welche zwei Fragen kann Adlerauge jetzt noch stellen, und wie kommt er damit zum Ziel?
Jahrgangsstufe 10-13: Wurzelgemüse
Vor langer, langer Zeit, als es noch keine Taschenrechner gab, Rechenschieber ungenaue Werte lieferten und Tabellen nur eine begrenzte Anzahl von Werten erfassten, zog man die Wurzel aus einer Zahl nach der links anhand des Beispiels
dargestellten
Methode. 1. Beschreibe das Verfahren!
2. Berechne
nach der gleichen
Methode. 3. Begründe die Richtigkeit des Verfahrens; verwende dazu das rechts dargestellte Beispiel oder deine eigene Rechnung aus Teil 2. (Tipp: binomische Formel!)